Matej Kovár è un portiere del Bayer Leverkusen che ha collezionato 5 presenze, per un totale di 450 minuti. È stato scelto nell'11 iniziale in tutte le 5 presenze su 34 giornate.
La sua ultima apparizione nella competizione risale al 4 maggio, partita in cui ha giocato 90 minuti con la maglia del Bayer Leverkusen contro il Friburgo, nel pareggio per 2-2. Ha mantenuto 3 volte la porta inviolata in questa stagione.
Nella passata stagione di Bundesliga Kovár ha giocato 1 partita con il Bayer Leverkusen, gare in cui ha mantenuto 1 volta la porta inviolata.
Kovár ha iniziato la sua esperienza con il Bayer Leverkusen nell'agosto 2023, mentre prima giocava con il Manchester United, con cui non ha collezionato alcuna presenza in campionato.
Ha debuttato in Bundesliga con il Bayer Leverkusen il 27 gennaio 2024, come titolare, contro il Borussia M'gladbach a 23 anni e 255 giorni. Conta in totale 6 gare nella competizione, in cui ha ottenuto 4 clean sheet.