Nell'ultima stagione con Catanzaro in Serie B Quagliata ha collezionato 18 presenze, realizzando 2 gol e fornendo 4 assist vincenti.
Quagliata è tornato a giocare con la Cremonese nel luglio 2025 dopo un'esperienza in prestito con Catanzaro, con cui ha collezionato 18 presenze in campionato, con 2 gol segnati e 4 assist.
Il 14 agosto 2022 Quagliata ha debuttato in Serie A, a 22 anni e 176 giorni contro la Fiorentina. In generale in Serie A, ha collezionato 20 partite, con 1 assist.