Alejandro Padilla è un portiere del Pumas UNAM che ha giocato 12 partite di Liga MX nel 2024/2025 dopo aver raggiunto il club il 9 gennaio 2025, essendo partito titolare in tutte le 12 presenze.
La sua ultima partita in Liga MX risale al 4 maggio, partita in cui ha giocato 90 minuti con la maglia del Pumas UNAM contro il Monterrey, nella sconfitta per 2-0. Ha mantenuto 2 volte la porta inviolata in questa stagione.
Padilla non ha giocato nemmeno una partita di LaLiga nell'ultima stagione con l'Athletic Bilbao.
Padilla è passato a giocare in prestito con il Pumas UNAM nel gennaio 2025. In precedenza giocava per Basconia, per cui ha collezionato 24 presenze in campionato, dopo aver raggiunto il club nel luglio 2021.