Tugbey Akgun è un centrocampista Bursaspor che è sceso in campo nella maggior parte delle gare del club in 1. Lig nel 2020/2021, avendo collezionato 17 presenze, per un totale di 807 minuti. É partito titolare in 11 presenze su 34 giornate ed è entrato 6 volte.
La sua ultima presenza in campionato è stata il 9 maggio, gara in cui ha giocato 45 minuti con la maglia Bursaspor contro Ankara Keçiörengücü, nella sconfitta per 3-0. In totale il centrocampista ha segnato 2 reti in questa stagione. Ha ricevuto 4 cartellini gialli.
I suoi primi gol nel campionato sono arrivati in una vittoria 5-1 contro Eskişehirspor l'1 maggio, quando ha realizzato una doppietta.